E-opgaver: 28c Mundtlig eksamen. Stamfunktion og integral

Du kommer til næste felt ved at taste Enter eller Tab (det er tasten med 2 pile)

Klik her for hjælp. Se evetuelt video .

Delopgave 1

Hvilken betingelse skal være opfyldt for at en funktion F kan kaldes en stamfunktion til en funktion f ?

Svar:

F ´=

Delopgave 2

Skriv regneforskriften for den stamfunktion F til 2x, hvor F(0)=0

Svar:

F(x)= ²

Delopgave 3 og 4 og 5 og ...

Skriv regneforskriften for den stamfunktion G til 2x, hvor G(0)=5

Svar:

G(x)= ² +

Hvis der til en funktion f findes en stamfunktion F, så gælder:

1. G(x)=F(x)+k er også for f, idet k er et tilfældigt tal, kaldet en konstant.

2. Enhver stamfunktion til f kan skrives på formen G(x) = + k , hvor k er et konstant tal.

Dvs alle stamfunktioner til f udgøres af dem,der kan skrives på formen G(x) = + k

Bevis:

1. G’(x) = (F(x)+k )’ = + 0 = f(x). hvorfor G er stamfunktion til f.

2.	Vi betragter stamfunktion til f : G. (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x)–f(x) = Grafen for *(G(x) – F(x))* er derfor vandret overalt, og *(G(x) – F(x)) =* et konstant tal k. Altså *G(x) = F(X) +*

Delopgave 12

Hvad kan man kalde en vilkårlig stamfunktion til f ?

Svar:

Det ubestemte til x og det betegnes ∫ f(x) dx

Delopgave 13

Lad F være en stamfunktion til f.

Definer det bestemte integral fra x-værdien a til x-værdien b.

Svar:

b
∫
a f(x) dx = = [ F(x) ] b

a

Bemærk, det bestemte integral giver samme værdi uanset hvilken stamfunktion til f, der benyttes.
Hvis man beregner det bestemte integral 2 gange, og bruger en anden stamfunktion til f i sidste udregning, vil resultatet blive det samme, da de to stamfunktioner kun adskiller sig fra hinanden med en abritrær konstant, der neutraliserer sig selv ved regneoperationen: F(b) - F(a).

Delopgave 14 og 15 og 16

Herunder ses en funktion f, defineret på et lukket interval [a, b] og f(x) ≥ 0.
Er arealet af det skraverede område en funktion af x?

Svar:

Er denne arelafunktion A en stamfunktion til f ?

Det vil vi ikke bevise, men anskueliggøre.

Vi vil undersøge om A´ = f og betragter ΔA
Δx = ΔA
h

Tælleren er næsten lig arealet af den mørkt skravede firkant.
Arealet af firkanten er grundlinje gange højde.

Grundlinjen er h. Hvad er højden udtrykt ved f og x?

Delopgave 17 og 18 og 19 og ...

Hvad er arealet af den mørkt skraverede firkant?

Svar:

Arealet er: h·

Vi har således med god tilnærmelse: ΔA
Δx = ΔA
h = h·f(x)
h =

Det er troværdigt at tilnærmelsen bliver bedre og bedre, jo tættere h kommer på nul, og det er troværdigt, at vi kan se bort fra, at det blot er en tilnærmelse, når h nærmers sig nul.

Dermed er anskueliggjort, at A´ = f , og derfor, at A er en til f

Bemærk b
∫
a f(x) dx = - A(a)

Da A(a)=0 fås b
∫
a f(x) dx =

Delopgave 22 og 23 og 24 og ...

Hvis man vil beregne arealet mellem 2 grafer, skal man trække fra.
Hvad er arealet mellem de 2 nedenstående grafer svarende til
funktionerne f(x)=2x og g(x)=x² ? (2 decimaler)

Svar:

Arealet = 2
∫
0 ( f - g )(x) dx = 2
∫
0 (2x - x²) dx = [ x²-¹/₃ x³ ] 2
0 =

Regneregler for bestemte integraler

b
∫
a ( f(x) ± g(x) ) dx = b
∫ f(x) dx ±
a b
∫
a

b
∫ c · f(x) dx = c ·
a b
∫
a

b
∫ f(x) dx =
a c
∫ f(x) dx +
a b
∫
c

Det anbefales at printe før du sender. Klik her for print

Hvis ´Send til aflevering´ ikke virker, så klik her.

	Det anbefales at printe før du sender. Klik her for print
	Hvis ´Send til aflevering´ ikke virker, så klik her.