f(2)  =


Delopgave 15 og 16 og 17 og ...

Skriv ligningen for tangenten gennem grafpunktet (x₀, y₀) = (2, 8).
Dvs. x₀ = 2 og y₀ = 8

Svar:

( - ) = ( - )

Denne ligning kan reduceres til: y = 12x -


Delopgave 21 og 22 og 23

Vi vil nu beregne et par differentialkvotienter ved hjælp af en metode/regel med 3 trin.
Hvad kaldes denne metode/regel?

Svar:

Skriv reglen.

1.   Opskriv   Δf Δx   eller   Δf  h       Husk  h = Δx = x-x0  2.   Omskriv Δf.   Måske kan der med Δx eller h    3.   Bestem grænse

Delopgave 24 og 25 og 26 og ...

Kan 3-trinsreglen anvendes på   f(x) = ax+b ?

Svar:

Gør det.

Δf h   =   y - y0 h   =   ( ax + b )   -   ( ax0 + ) h     =     ax + b   -   ax0   -       =     ax - ax0     =     ( - x0 )     =     * x-x0     =     a* h     =     Da   Δf h = a, gælder også at   Δf h →   når x → x0.     Altså f´(x) = .   Da det gælder for ethvert x0, kan vi skrive f´(x) =

Det er ikke overraskende, at f´(x)=a, da grafens hældning for en lineær funktion overalt er lig hældningskoefficienten.

Ovenstående bevis kan også gøres på en anden måde.

Her udnytter vi, at     x = x₀+h     Det er en direkte følge af, at h=x-x₀.

Gør det.

Δf h   =   y - y0 h   =   ( ax + b )   -   ( ax0 + ) h   =   ( a(x0+h) + b )   -   ( ax0 + ) h   =     ax0 + + b   -   ax0   -       =         =     Da   Δf h = a, gælder også at   Δf h →   når x → x0.     Altså f´(x) = .   Da det gælder for ethvert x0, kan vi skrive f´(x) =

Til eksamen kan man frit vælge hvilket bevis, man vil bruge.



Delopgave 50 og 51 og 52 og ...

Kan 3-trinsreglen anvendes på   f(x) = x² ?

Svar:

Gør det og benyt  x = x₀+h.

Δf h   =   y - y0 h   =   x²   -   x0²   =   (x0+)²   -   x0²     =     x0² + h² + hx0   -   x0²     =     h² + hx0     =     h + x0 Dette udtryk nærmer sig 2x0 når h nærmer sig nul eller x nærmer sig x0. Derfor er f´(x0) = 2x0. Da det gælder for ethvert x0, kan vi skrive  f´(x) =

Delopgave 60

Differentier x² + 5x ved ledvis differentiation.
(brug plusreglen)

Svar:


(x² + 5x)´ =


Delopgave 61 og 62 og 63 og ...

Skriv plusreglen.

Svar:

Hvis funktionerne f og g er differentiable, så er (f+g) også differentiabel,

og   ( f(x) + g(x) )´ = +

Bevis plusreglen.   (Her anvender vi ikke h, og vi forkorter ikke)

Δ(f+g) Δx   =   ( f(x) + ) - ( f(x0 ) + g(x0) ) x-x0   =   f(x) - f(x0) + - g(x0) x-x0   =   - f(x0) x-x0 + - g(x0) x-x0 Da både f og g er differentiable har udtrykket grænseværdien f´(x0) + g´(x0). Derfor er (f+g) differentiabel og ( f(x0) + g(x0) )'   =   f´(x0) + g´(x0).   Da det gælder for ethvert x0, kan vi skrive  ( f(x) + g(x) )´ = +

I det følgende betyder punktvis ét punkt af gangen, og ikke et nok så lille interval.

Hvis differentialkvotienten i et interval er større end nul eller punktvis lig nul, så er funktionen i intervallet.

Hvis en funktion er voksende i et interval, så er differentialkvotienten end nul eller punktvis lig nul i intervallet.

Hvis differentialkvotienten i et interval er mindre end nul eller punktvis lig nul, så er funktionen i intervallet.

Hvis en funktion er aftagende i et interval, så er differentialkvotienten end nul eller punktvis lig nul i intervallet.

Betragt denne funktion.



Delopgave 73 og 74 og 75 og ...

Hvad er funktionens minimum og maksimum?

Svar:

Minimum   =  
Maksimum =
Værdimængden = [ ; ]

Udfyld nedenstående fortegnsvariation for f´.

(I nogle browsere vil udfyldningsfelterne ikke blive placeret præcist. Udfyld alligevel.)

x:             0,2                      1                            2,2                       3            3,4
_________|____________|_______________|_____________|_______|_____>
f´(x)                       +                                 -        


Delopgave 82 og 83

Skriv monotoniintervallet længst til venstre i ovenstående tegning.
Intervalgrænserne skal være med 1 decimal som i fortegnsvariationen.

Svar:

[ ; ]

Herefter vil vi betragte denne funktion: f(x) = x³ +3x² - 9x + 7


Delopgave 84 og 85 og 86

Hvad er differentialkvotienten?

Svar:

f´(x) = x²   +   -


Delopgave 87 og 88 og 89 og ...

Løs ligningen f´(x)=0   <=>   3x²+6x-9=0

Svar:

d = 6² - 4·3·(-9) =

Rødder :

- 6 ±   __ √ d 2·3

dvs.   -3   og

Grafen for f´ er ”glad” og derfor negativ mellem rødderne.

Udfyld nedenstående fortegnsvariation for f´.

x:                                    -3                             1
____________________|_______________|__________________>
f´(x)                 +             0             -                          

Optimering

Et firma sælger en vare og vil optimere fortjenesten.
Fortjenesten i millioner kroner er:
f(x) = -2x² + 8x - 1, hvor x er reklameinvesteringen i millioner kroner, Dm(f) = [0; 5]
Firmaet kan højst investere 5 mio. (Det vil i øvrigt viser sig at være nok.)

Vi vil beregne, hvilken rekalmeinvestering, der giver optmal fortjeneste.
Derfor vil vi lave en fortegnsvariation for f´.

Differentier f
f´(x) = -4x +


Delopgave 92

Løs ligningen f´(x) = 0   <=>   -4x + 8 = 0

Svar:

x =


Delopgave 93

Hvad er fortegnet for f´(0)?

Svar:




Delopgave 94 og 95 og 96 og ...

Hvad er fortegnet for f´(3)?

Svar:

Udfyld nedenstående fortegnsvariation for f´.

x:             0                     2                             5
________|___________|_______________|__________>
f´(x)                          


Delopgave 98 og 99

Hvor mange millioner skal der investeres i reklamer for at få maksimal fortjeneste?

Svar:

mio kr

Maksimum-fortjenesten er i øvrigt f(2) mio kr   =   mio kr

Tallet e og Ln
Tallet e = ca 2,718. Der er uendelig mange decimaler.
e kan ikke skrives som en endelig decimal brøk.
e kan end ikke skrives som en almindelig brøk, med et helt tal foroven i tælleren og helt tal for neden i nævneren.


Delopgave 100 og 101 og 102 og ...


Betragt funktionen f(x) = e^x.
Hvad kaldes denne funktion?

Svar:

(e^x)´ = ^x

Den naturlige logaritmefunktion Ln er bestemt ved:

Den naturlige logaritme til et positivt tal er den eksponent, man skal sætte på for at få tallet.

DVS.

e^Ln(x) =

e^Ln(2) =  

Bemærk på tegningen, at x=Ln(2) giver en graf-hældning lig funktionsværdien 2. Det gælder for alle x-værdier fordi (e^x)´ = e^x.

e^Ln(3) =

e^Ln(a) =

a = ^Ln(a)

a^x = (^Ln(a))^x = ^x·Ln(a) ,     Svarende til (5³)² = 5·5·5  ·  5·5·5   =   5^3·2

Altså:   a^x = e^x·Ln(a)   og   b·a^x = b·e^x·Ln(a)

Der gælder:
( Ln(x) )´   =  ¹/             og   for x>0       ∫ ¹/_x dx = + k         For x<0 gælder   ∫ ¹/_x dx = Ln(-x) + k
( a^x )´      =  · a^x
( b·a^x )´   = · b·a^x

Væksthastighed er det samme som

Af ovenstående fremgår, at ved en eksponentiel funktion f(x) = b·a^x er vækst-
hastigheden proportional med funktionsværdien og proportionalitetsfaktoren er

	Det anbefales at printe før du sender. Klik her for print
	Hvis ´Send til aflevering´ ikke virker, så klik her.