©
Peter L Sørensen
Andre E-opgaver
E-opgaver: 28a
Mundtlig eksamen. Andengradspolynomiet.
Du kommer til næste felt ved at taste
Enter
eller
Tab
(det er tasten med 2 pile)
Få hjælp ved at klikke
her
. Se eventuelt
video
.
Delopgave 1 og 2 og 3
Definer andengradspolynomiet
Svar:
Et adengradspolynomium
er en funktion, hvor
regneforskriften kan skrives såldes:
p(x) =
·x²
+
·x
+
, hvor a, b og c er tal og a ≠ 0
Delopgave 4
Hvad kaldes grafen for et andengradspolynomium?
Svar:
Delopgave 5
Skriv regneforskriften for for det andengradspolynomium, som har denne graf.
Svar:
p(x) =
²
Delopgave 6
Skriv regneforskriften for for det andengradspolynomium, som har nedenstående sorte graf.
Svar:
p(x) =
²
Delopgave 7
Skriv regneforskriften for for det andengradspolynomium, som har ovenstående røde graf.
Svar:
p(x) =
²
Delopgave 8
Skriv regneforskriften for for det andengradspolynomium, som har nedenstående sorte graf.
Svar:
p(x) = 2 ( x -
)²
Delopgave 9
Skriv regneforskriften for for det andengradspolynomium, som har ovenstående røde graf.
Svar:
p(x) =
( x - 3 )
²
Delopgave 10 og 11
Skriv regneforskriften for for det andengradspolynomium, som har nedenstående sorte graf.
Svar:
p(x) =
( x - 3 )
²
+
Delopgave 12 og 13 og 14
Skriv regneforskriften for for det andengradspolynomium, som har ovenstående røde graf.
Svar:
p(x) =
( x -
)
² +
Delopgave 15
Hvad kaldes det punkt på parablen, hvor der er størsteværdi eller mindsteværdi?
Svar:
Delopgave 16 og 17
Hvad er koordinatsættet for toppunktet til andengradspolynomiet:
p(x) = 2(x-3)² + 2
Svar:
(
,
)
Delopgave 18
Hvilken vej vender grenene på en parabel når a>0
Svar:
Delopgave 19
Hvilket fortegn har grafens hældning ved y-aksen når b>0?
Svar:
Delopgave 20
Hvor skærer parablen y-aksen, ved y-værdien a, ved b eller ved c?
Svar:
Ved y-værdien:
Delopgave 21 og 22
Hvad er koordinatsættet for toppunktet til nedenstående andengradspolynomium?
p(x) = a(x - x
0
)² + y
0
Svar:
(
0
,
0
)
Delopgave 23 og 24
Vi vil nu udlede en formel for toppunktet til polynomiet
p(x) = ax² + bx + c
Først indføres diskriminanten d.
Udtryk d ved a, b og c.
Svar:
d =
² -
Delopgave 25
Hvad er parablens hældning i toppunktet?
Anfør et tal for hældningen.
Svar:
Delopgave 26
Find differentialkvotienten til p(x) = ax² + bx +c
Svar:
p´(x) =
Delopgave 27
Hvad må gælde om toppunktets x-værdi, x
0
?
(Skriv et tal)
Svar:
p´(x
0
) =
Delopgave 28
Hvad må således også gælde om toppunktets x-værdi, x
0
?
(Skriv et tal)
Svar:
2ax
0
+b =
Delopgave 29 og 30
Isoler x
0
og udtryk derved toppunktets x-værdi, x
0
, ved a og b.
Svar:
x
0
=
Delopgave 31 og 32 og 33 og ...
Vi vil nu finde toppunktets y-værdi y
0
.
Indsæt
-b
2a
i stedet for
x
i
ax²+bx+c
Svar:
y
0
= a
(
)²
+ b
+ c
y
0
=
a·
²
4·
²
-
²
a
+ c
Brug fællesnævneren:
4a
y
0
=
²
a
-
2·
²
a
+
a
y
0
=
²
- 2·
²
+
a
y
0
=
-
²
+
a
Erstat
-b² + 4ac
med
-d
.
y
0
=
-
a
Delopgave 54 og 55 og 56 og ...
Skriv koordinatsættet for toppunket til polynomiet med regneforskriften
p(x) = ax² + bx + c.
Svar:
( x
0
, y
0
) =
(
,
)
Delopgave 58
Vi vil nu udlede løsningsformlen for andengradsligningen
ax² + bx + c = 0
, hvor a ≠ 0.
For at gøre det lettere at løse ligningen, foretager vi følgende omskrivning:
a(x - x
0
)² + y
0
= 0
, hvor ( x
0
, y
0
) er toppunktet for det tilsvarende polynomium.
Isoler først
(x - x
0
)²
.
Svar:
a(x - x
0
)² = -y
0
(x - x
0
)² =
-y
0
Delopgave 59
Ved hjælp af toppunktsformlen kan y
0
erstattes af
-d
/
4a
Højresiden bliver således:
Svar:
-d
/
4a
a
=
d
4·
²
Delopgave 60
Ligningen, der skal løses, kommer derved til at se således ud:
Svar:
(x - x
0
)² =
d
4·
²
Delopgave 61
En parentes i anden kan ikke have negativ værdi, så venstresiden er ikke negativ.
Nævneren til højre kan heller ikke være negativ.
Hvor mange løsninger har ligninge hvis d < 0?
Svar:
Delopgave 62
Hvis d ≥ 0 kan ligningen omskrives til:
(x - x
0
) =
±√d
2a
Isoler x
Svar:
x =
0
+
±√d
2a
Delopgave 63 og 64
Erstat
x
0
med
-b
/
2a
Svar:
x =
+
±√d
2a
Delopgave 65 og 66
Sæt højresiden på én brøksteg og løsningsformlen er bevist.
Svar:
x =
± √d
Det anbefales at printe før du sender. Klik her for print
Hvis ´Send til aflevering´ ikke virker, så klik her.