Ved sænket skrift, skal du her skrive _ ,   fx: x_2

Ved hævet skrift,   skal du her skrive ^ ,   fx: x^2

Hjælp     Eksamens-video     Øvelse

Definer eksponentiel funktion.

Svar:

En funktion kaldes eksponentiel,
hvis den har en regneforskrift,
der kan skrives således:

f(x) = ·a^x,   hvor a og b er positive.


Delopgave 2

Hvilken en x-værdi giver funktionsværdien b ?

Svar:

f() = b


Delopgave 3

Hvad kaldes b?

Svar:




Delopgave 4

Hvad kaldes a?

Svar:

svarende til en tilvækst i x på 1


Delopgave 5 og 6

Hvis man til 2 x-værdier, x₁ og x₂, kender de tilsvarende y-værdier, y₁ og y₂, kan a beregnes ved hjælp af en formel.
Skriv denne formel.   y₁ skrives y_1 og y₂ skrives y_2.

Svar:

a   =

√

_________ -----------------

Delopgave 7 og 8

Denne formel skal bevises.
Ud fra regneforskriften y = b·a^x, skal du skrive
funktionsværdien af x₁ og funktionsværdien af x₂.
Husk at skrive x_1 og x_2.

Svar:

y₁ = b·a^
y₂ = b·a^


Delopgave 9 og 10

På grundlag af ovenstående skal du nu udfylde nedenstående.

Svar:

y2     y1

=

b·a^     b·a^

Delopgave 11 og 12

Forkort brøken til højre med b.

Svar:

y2     y1

=

a^     a^

Delopgave 13

Inden vi går videre med at bevise formlen,
skal vi lige repetere en regel om eksponenter:

ap aq

= ap-q  ,     fx:

37 35

= 37-5

Benyt reglen til at omskrive brøken.

Svar:

y2     y1

=   a^()

Delopgave 14 og 15 og 16

Tag en passende rod på begge sider af lighedstegnet, og formlen er bevist.
Når man tager den samme rod af 2 lige store størrelser, må de 2 rødder også være lige store.

Svar:

√

_________ -----------------

=   a

Delopgave 17

Hvis man til en x-værdi, x₁ kender den tilsvarende y-værdi, y₁ og a,
kan b beregnes ved hjælp af en formel.

Skriv denne formel.

Svar:

b =

y1 a^

Delopgave 18

Vi skal bevise denne formel.
Betragt en vilkårlig x-værdi x₁ og tilhørende y-værdi y₁.
Indsæt x₁ og y₁ i regneforskriften.

Svar:

y₁ = b·


Delopgave 19

Divider på begge sider med a^x_1 og formlen er bevist.

Svar:

y1

=   b

Delopgave 20

Vi vil nu vise, at hvis y er en eksponentiel funktion af x,
så er Log(y) en lineær funktion af x.
(Det er derfor, grafen bliver lineær i enkelt logaritmisk papir, hvor man her afsætter Log(y) i stedet for y.)

Betragt regneforskriften og tag logaritmen på begge sider af lighedstegnet.

Svar:

Log(y) = Log( b· )


Delopgave 21

Vi får nu for denne logaritmeregel: Log(a·b)=Log(a)+Log(b)

Brug denne regel på højresiden af udtrykket i foregående delopgave.

Svar:

Log(y) =


Delopgave 22

Herefter får vi brug for en anden, og i øvrigt meget vigtig, logaritmeregel: Log(a^x)=x·Log(a)

Brug denne regel på det sidste led i ovenstående udtryk,
og du vil se, Log(y) er en lineær funktion af x med Log(b) som begyndelsesværdi og Log(a) som hældningskoefficient.

Svar:

Log(y) = Log(b) + x·


Delopgave 23

Fordoblings og halveringskonsant er det næste emne.
Herunder er grafen for en eksponentiel funktion.


f(8)=45. Aflæs f(10).

Svar:

f(10) =


Delopgave 24 og 25

Det bemærkes, at 90 er det dobbelte af 45.
Hvad er fordoblingskonstanten T₂ ?

Svar:

T₂ = 10 - =


Delopgave 26 og 27 og 28 og ...

Hvis blot man kender a, så kan T₂ eller T_½ beregnes ved hjælp af 2 formler.
Skriv disse formler.
Logaritmerne skal skrives således: Log(a), Log(2) eller Log(0,5)

Svar:

T2 =

T½ =

Delopgave 30 og 31 og 32 og ...

Vi vil bevise formlen for T₂.
Vi ved, x=0 giver y-værdien b.
T₂ er den x-værdi, der giver y-værdien 2b.
Erstat y med 2b og isoler x i regneforskriften.
Derved bevises formlen, idet T₂ = x.

Svar:

= b·a^x

= a^x

Log(2) = Log()

Log(2) = x·Log()

Log(2)

=   x

Hvorved formlen er bevist.

	Det anbefales at printe før du sender. Klik her for print
	Hvis ´Send til aflevering´ ikke virker, så klik her.