©
Peter L Sørensen
Andre E-opgaver
E-opgaver: 17e Mundtlig eksamen. Potensfunktioner
Du kommer til næste felt ved at taste
Enter
eller
Tab
(det er tasten med 2 pile)
Ved sænket skrift, skal du her skrive _ , fx: x_2
Ved hævet skrift, skal du her skrive ^ , fx: x^2
Hjælp
Eksamens-video
Øvelse
Delopgave 1 og 2
Definer potens-funktion.
Svar:
En funktion kaldes en potens-funktion,
hvis den har en regneforskrift,
der kan skrives således:
f(x) =
·
^a , hvor x og b er positive.
Hvis a=0 vil vi ikke kalde funktionen en potensfunktion, da den så bliver konstant lig b, altså lineær. (Bemærk: x
0
= 1)
Delopgave 3
Udfyld med en x-værdi.
Dvs. du skal skrive et tal.
Svar:
f(
) = b
Delopgave 4
Hvad er betydningen af b?
Svar:
b er funktionsværdien af
Delopgave 5
Hvis man lader en mønt falde ned fra et højhus, kan faldet med god tilnærmelse beskrives ved modellen
y=5·x²
, hvor x er antal sekunder mønten er faldet, og y er hvor langt mønten er faldet i meter.
Hvor langt er mønten faldet efter 1 sekund?
Svar:
meter.
Delopgave 6
Hvor langt er mønten faldet efter 3 sekunder?
Svar:
meter.
Delopgave 7
Vi antager, at mønten falder ned fra et vindue og rammer jorden efter 6 sekunder. Hvad er vinduets højde over jorden?
Svar:
meter.
Delopgave 8
Vi vil nu vise, at hvis y er en potensfunktion af x, så er Log(y) en lineær funktion af Log(x).
(Det er derfor, grafen bliver lineær i dobbelt logaritmisk papir, hvor man afsætter Log(x) i stedet for x og Log(y) i stedet for y.)
Betragt regneforskriften og tag logaritmen på begge sider af lighedstegnet.
Svar:
Log(y) = Log( b·
^a )
Delopgave 9
Vi får nu brug for denne logaritmeregel:
Log(a·b)=Log(a)+Log(b)
Brug denne regel på højresiden af ovenstående udtryk, hvor a erstattes af b, og b erstattes af x^a
Svar:
Log(y) =
Delopgave 10 og 11 og 12 og ...
Herefter får vi brug for en anden, og i øvrigt meget vigtig, logaritmeregel:
Log(a
x
)=x·Log(a)
eller
Log(x
a
)=a·Log(x)
Brug denne regel på det sidste led i ovenstående udtryk, og du vil se, Log(y) er en lineær funktion af Log(x) med Log(b) som begyndelsesværdi og a som hældningskoefficient.
Svar:
Log(y) = Log(b) + a·
Hvis a>0 så er funktionen
Hvis a<0 så er funktionen
Ved Lineær funktion gælder: a =
y
2
- y
1
x
2
- x
1
Da
Log(y)
ved potensfunktion er en lineær funktion af
Log(x)
gælder her:
=
Log(y
2
) - Log(y
1
)
Log(x
2
) - Log(x
1
)
Delopgave 14
Hvis man til en x-værdi,
x
1
, kender den tilsvarende y-værdi,
y
1
,
og også kender
a
, så kan
b
beregnes ved hjælp af en formel.
Vi vil udlede denne formel.
Betragt en vilkårlig x-værdi
x
1
og tilhørende y-værdi
y
1
.
Indsæt
x
1
i regneforskriften.
Husk at skrive
x
1
således
x_1
Svar:
y
1
= b·
^a
Delopgave 15
Divider på begge sider med
x_1^a
og formlen er udledt.
Husk at ^ bliver indtastet ved først at taste ^ og så taste mellemrum.
Svar:
y
1
= b
Ved at sætte b til venstre fås:
b =
y
1
x
1
a
Delopgave 16
Skriv regneforskriften for en potensfunktion, hvor grafen går gennem punkterne (10,1000) og (100,1000000).
Svar:
y =
Delopgave 17
Betragt potens-funktionen
y=7x³
Skriv ved hjælp af regneforskriften et udtryk for funktionsværdien af x
1
Svar:
y
1
=
·x
1
³
Delopgave 18
Vi fremskriver nu en tilfældig x-værdi x
1
med 20%, altså med fremskrivningsfaktoren 1,20 og
vil undersøge, hvilken indflydelse det får på y.
Først konstaterer vi, at der om den nye x-værdi,
x
2
, gælder:
x
2
= x
1
·1,20
Vi ved også:
y
2
= 7x
2
3
Hvad fås når
(x
1
·1,20)
indsættes i stedet for
x
2
Svar:
y
2
= 7·(
x
1
·
)
3
Delopgave 19 og 20
Inden vi går videre, skal vi lige repetere en regel om eksponenter:
(a·b)
p
= a
p
·b
p
, fx: (5·7)
3
= 5
3
·7
3
.
Brug denne regel på ovenstående udtryk
Svar:
y
2
= 7·x
1
³·
³
Vi bemærker at
7·x
1
³ = y
1
. Herved fås:
y
2
= y
1
·
³
Delopgave 21
Beregn fremskrivningsfaktoren for y, når x fremskrives med
fremskriveningsfaktoren 1,20 svarende til en fremskrivning på 20%
Svar:
1,20³ =
Delopgave 22
Med hvor mange % fremskrives y når x fremskrives med 20%?
Svar:
%
Bemærk at denne procent ikke afhænger af hvilken af de mulige x-værdier,
der fremskrives med 20% og heller ikke afhænger af b-værdien 7.
Delopgave 23
Vi vil nu gøre same øvelse igen, blot mere generelt. Vi betragter funktionen
y=b·x
a
og fremskriver x med p% = r, dvs med fremskrivningsfaktoren (1+r).
Skriv ved hjælp af regneforskriften et udtryk for y
1
Svar:
y
1
= b·x
1
^
Delopgave 24
Vi fremskriver nu x
1
med med fremskrivningsfaktoren (1+r) og vil undersøge, hvilken indflydelse det får på y.
Først konstaterer vi, at den nye x-værdi
x
2
= x
1
·(1+r)
Udnyt dette og skriv funktionsværdien af x
2
udtrykt ved x
1
Svar:
y
2
= b·(x
1
·
)
a
Delopgave 25 og 26
Inden vi går videre skal vi lige repetere en regel om eksponenter: (a·b)
p
= a
p
·b
p
, fx: (5·7)
3
= 5
3
·7
3
.
Brug denne regel på ovenstående udtryk
Svar:
y
2
= b·x
1
a
·
a
Vi bemærker at
b·x
1
a
= y
1
. Herved fås:
y
2
= y
1
·
a
Delopgave 27
Skriv et udtryk for fremskrivningsfaktoren for y, når x fremskrives med
fremskriveningsfaktoren (1+r) (svarende til en fremskrivning på p%)
Svar:
^a
Delopgave 28
Skriv et udtryk for hvor mange % y fremskrives med, når x fremskrives med p% = r ?
Svar:
(
^a-1)·100%
Bemærk at denne procent ikke afhænger af x
1
.
Delopgave 29 og 30
Vi betragter nu funktionen
y=3x
0,5
Hvad er fremskrivningsfaktoren for y, når x fremskrives med 10%
(4 decimaler)
?
Svar:
1,10^0,5 =
Hvor mange % ændres y, hvis x ændres med 10%
(2 decimaler)
?
Svar:
%
Det anbefales at printe før du sender. Klik her for print
Hvis ´Send til aflevering´ ikke virker, så klik her.