Klik her for hjælp,   Læs også,     se video,    se regler   og få hjælp ved disse øvelser.

Vi starter med at defienre Sinus og Cosinus til en spids vinkel. Dvs en vinkel mellem 0° og 90°.
Vi betragter en spids vinkel v:


Vi lægger vinklen i et koordinatsystem, hvor der også er tegnet en
enhedscirkel med centrum i (0,0) således som det ses på tegningen her:
.
P er skæring mellem enhedscirklen og vinklens venstre ben.

Definer Cosinus til v

Svar:

Cos(v) defineres som det tal, den lodrette linje fra P rammer på -aksen


Delopgave 2

Definer Sinus til v

Svar:

Sin(v) defineres som det tal, den vandrette linje fra P rammer på -aksen


Delopgave 3

Hvad kaldes en retvinklet trekant, hvor hypotenusen ligesom den røde trekant i ovenstående tegning har længden 1

Svar:

Det kaldes en


Delopgave 4

Hvor lang er kateten over for vinkel v i en sådan trekant(Den modstående katete)

Svar:

(v)


Delopgave 5

Hvor lang er kateten ved vinkel v (Den hosligende katete)

Svar:

(v)



Delopgave 6 og 7

Vi Betragter nu en retvinklet trekant ABC med den rette vinkel i C.


Opskriv en formel for Sin(A)

Svar:

Sin(A) =

Delopgave 8 og 9

Opskriv en formel for Cos(A)

Svar:

Cos(A) =

Delopgave 10

Vi vil nu bevise disse 2 formler.Vi betragter en vilkårlig retvinklet trekant ABC med den rette vinkel i C.
Desuden betragter vi en standardtrekant ensvinklet med den forelagte vilkårlige trekant ABC.



Hvad er skalafaktoren k (forstørrelsesfaktoren) fra standardtrekanten til den forelagte trekant ABC

Svar:

Skalafaktoren k er


Delopgave 11

Udtryk a ved den tilsvarede side i standard-trekanten og skalafaktoren.

Svar:

a = c·(v)


Delopgave 12 og 13 og 14 og ...

Isoler Sin(v)

Svar:

Sin(v) =

Da vinkel A er den samme som vinkel v, fås formlen, som skulle bevises:

Sin(A) =

Delopgave 16

Udtryk b ved den tilsvarede side i standard-trekanten og skalafaktoren.

Svar:

b = c·(v)


Delopgave 17 og 18 og 19 og ...

Isoler Cos(v)

Svar:

Cos(v) =

Da vinkel A er den samme som vinkel v, fås formlen, som skulle bevises:

Cos(A) =

Delopgave 21 og 22 og 23 og ...

Ikke alle retvinklede trekanter hedder ABC og med C i den rette vinkel.
Derfor er det bedre at udtrykke Sinus- og Cosinus-formlerne ved
modstående katete, hosliggende katete og hypotenusen.

Gør det og brug forkortelserne: modst., hosl.k. og hyp.

Svar:

Sin(v) =

Cos(v) =

Delopgave 25

Hvor mange grader er vinkel v i denne trekant (helt tal)?



Svar:

v = °


Delopgave 26 og 27

Definer tangens til en vinkel v.

Svar:

Tan(v) =

Delopgave 28 og 29

Vi Betrager igen den retvinklede trekant ABC med den rette vinkel i C.


Opskriv en formel for Tan(A)

Svar:

Tan(A) =

Delopgave 30 og 31

Vi vil bevise formlen.

Svar:

Ud fra definitionen gælder:

Tan(A) =

Delopgave 32 og 33

I kraft af sinus- og cosinus-formlerne kan vi erstatte Sin(A) med a/c og Cos(a) med b/c. Gør det.

Svar:

Tan(A) =

Delopgave 34 og 35

Forlæng brøken med c, og formlen er bevist.

Svar:

Tan(A) =

Delopgave 36 og 37

Udtryk denne tangens-formel ved
modstående katete og hosliggende katete.

Brug forkortelserne: modst.og hosl.k.

Svar:

Tan(v) =

Delopgave 38 og 39

Pythagoras sætning kan illustreres ved denne figur.


Opskriv pythagoras´s sætning

Svar:

c² = ² + ²


Delopgave 40

Vi vil bevise Pythagoras´s sætning geometrisk og betragter en vilkårlig retvinklet trekant ABC:

Vi har tegnet en trekant, hvor b er meget længere end a. Så er det lettere at kende forskel på a og b.

Vi tegner derefter to lige store kvadrater med sidelængden a+b.
Vi sætter lighedstegn mellem kvadraterne, og det betyder, at de to figurer har samme areal.
Vi lægger en kopi af den vilkårlige trekant i nederste højre hjørne af venstre kvadrat,
og derefter 3 andre kopier, som vist nedenfor.
Inde i det venstre kvadrat opstår således en firkant.


Er alle fire sider lige lange i denne indre firkant?

Svar:




Delopgave 41

Er alle vinkler lige store i den indre firkant?

Svar:




Delopgave 42

Hvad kaldes en firkant, hvor alle sider er lige lange og alle vinkler lige store?

Svar:




Delopgave 43

Udtryk arealet af det indre kvadrat i venstre side ved c.

Svar:

²


Delopgave 44 og 45 og 46

I det højre kvadrat har vi tegnet 2 mindre kvadrater med sidelængder a og b og areal henholdsvis a² og b², som vist nedenfor.

Herved er opstået to rektangler. Vi har tegnet en diagonal i hvert rektangel.


Det ses, at hvert rektangel indeholer 2 trekanter.
Er disse trekanter kopier af den vilkårlige retvinklede trekant?

Svar:



Vi fjerner nu 4 trekanter på begge sider af lighedstegnet,
og de tilbageværende figurer på hver sin side af lighedstegnet må have same areal,
da der er fjernet lige meget på begge sider.


Altså c² = ² + ² ,   hvilket skulle bevises.


Du kan evt. bevise at alle vinkler er 90° i den indre firkant til venstre ved at udnytte, at de to spidse vinkler i en retvinklet trekant tilsamemn er 90°, og så er der 90° tilbage til firkantvinklen.

	Det anbefales at printe før du sender. Klik her for print
	Hvis ´Send til aflevering´ ikke virker, så klik her.